Rooke Time No 69 [juni 2011: Harmonins minsta molekyl, Tankar kring musikens väsen / Toomas Mathiesen]

Gud skapade Himmel och Jord och sedan skapade Han den Gregorianska sången.
Tonslingorna var utomordentligt estetiska och den djupa känslan tydlig. Intet var överdrivet och intet outsagt.
Likt trädtoppar som avlöser varandra i skogsbryn och bergstoppar, som följer varandra utmed horisonten, och liksom strandlinjer svänger med naturligt behag, så följer denna sång i likhet med all annan bedårande musik den från fraktalvärldens självlikheter hämtade 1/f distributionen, (känd sedan ett åttiotal år tillbaka) och med innebörden att, gåtfullt nog, intet i naturen är fullständigt kaotiskt.

Inte ens någon trivial trafikström under en motorvägsbro fördelar sig annorlunda, små fluktuationer är talrikare och stora ovanligare. Större klungor är fördelade i mindre. Rent kaos skulle förutsätta att all regelmässighet är satt ur spel.
Faktiskt följer de melodiska linjerna i all världens musik denna behagliga 1/f fördelning - med undantag för den konfusionistiska västeuropeiska modernismens!

Vår musikaliska tonskala springer ur svängningsmönstret hos en anslagen sträng eller vibrerande luftpelare.
Detta mönster bildar toner enligt talserien 1, 2/1, 3/2, 4/3, 5/4, 6/5, 7/6, 8/7, 9/8, 10/9, 11/10, 12/11, 13/12, 14/13, 15/16 ... eftersom strängen eller luftpelaren samtidigt svänger inte blott som en enda svängningsbuk eller rörlängd, utan även som hälften av den första, tredjedelen, fjärdedelen, femtedelen osv i all oändlighet.

Starkast amplitud har grundsvängningen och denna uppfattas av örat som tonens höjd. Alla andra svängningar kallas övertoner och interagerar på olika sätt med olika musikinstrument, vilket framkallar deras karakteristiska klangfärg.
DO-SOL är intervallet 3/2, DO-FA 4/3, DO-MI 5/4, MI-SOL 6/5, SI (molle)-DO 8/7, DO-RE och FA-SOL 9/8, RE-MI och SOL-LA 10/9 och SI (durum)-DO liksom MI-FA 16/15.

Som tydligt framgår är de här erhållna skalans renstämda heltonsteg av tre olika slag, 8/7, 9/8 och 10/9. Inte heller motsvarar två halvsteg något av dessa tre helsteg; 16/15 (1,066666...) x 16/15 = 256/225 (1, 1377777...). Istället kräves komplementen 15/14 (1,07142857...) , 135/128 (1,0546875) respektive 25/24 (1,0416666...) till utgångshalvsteget 16/15 (1,06666....

Härav kommer det sig att fullkomligt ren stämning en sänkt ton oftast faller lite lägre än dess från underliggande helton höjda tvilling.
Av ett ändlöst antal allt kortare intervall använder vi dessutom ett litet fåtal till vår tonskala.

Vi räknade under medeltiden nio möjliga toner i oktaven, DO, RE, MI, FA, SOL, LA och sänkt SI (molle), eller skarpt SI (durum), DO.
Skarpt SI fick understundom sänkas för att undvika svårsjunget djävulsintervall (överstigande kvart). Andra musikkulturer har fler intervall att välja bland, den indiska har t.ex 22 eller 23 möjliga toner i oktaven, även om indierna likaledes räknar sa, ga, ma, pa.... i åtta utvalda steg, men erhåller ett synnerligen stort urval skiftande tonarter, ragas att välja mellan. Detta har bundit deras musik vid enstämmighet. Utmärkande för västerlandet var en tidig strävan mot flerstämmighet.
Därmed avses flera samtidigt klingande och divergenta stämmor.

Det började med enkla försök åtminstone redan på 900-talet och första viktigare milstolpen kom med Notre Dame skolan omkring år 1200, när magister Leoninus i Paris sammanställde Magnus Liber Organi och efterträdaren magister Perotinus kompletterade densamma.

Till basstämma låg en för ändamålet lämplig latinsk text och känd kyrkotonmelodi i långa toner, en cantus firmus och benämnd tenorstämma (av tenere, hålla). Ovan denna var vävd en hastigare löpande duplum, hos Perotinus även triplum och quadruplum.

Man hade lärt sig notera enkla rytmer och vid 1200-talets mitt uppträdde stycken där tenoren inte längre var enbart sakral, cantus firmus, utan kunde även vara nykomponerad, eller för den delen kanske någon känd sekulär visa där de övre stämmorna samtidigt kunde sjunga helt olika texter, såväl finstämt poetiska som tämligen skabrösa.

Uppfinningsrikedomen var stor, men dissonanser, dit ännu även terser räknades, begagnades bara till osystematiska kontraster mot de erkända samklangerna, väsentligen oktav och kvint, vilka hade att avsluta varje fras.
Under 1300-talet förfinades rytmnotering och berikades kontrapunktteknik, medan kyrkan förfasade sig över sammanblandningen av heligt med sekulärt.
Till renässansen hade en homogen väsentligen vokal polyfonisk stil byggd på treklanger vuxit fram. Det därmed uppnådda i musikalisk känsla skulle aldrig mera återkomma i musikhistorien, utom i mycket inspirerade ögonblick hos giganter som Beethoven och Schubert (såsom i den sena pianosonaten i E-moll, eller stråkkvintetten i C-dur).

Olikheterna i den naturliga rena stämningen saboterar polyfont komponerande, eftersom de renstämda tonstegen icke är enhetliga sinsemellan.
Stämmer man sin gitarr perfekt i g blir den förskräckligt ostämd i a, osv. Sådant kan kompenseras i sång och på instrument utan fasta tonlägen och den tidiga flerstämmigheten var väsentligen sångburen.

Därmed kom det sig att efter klaviaturinstrumentens stora tidevarv barocken en liksvävande stämningsmetod blev uppfunnen, vältempererad kallad och med tolv till varandra exakt lika vägda toner, alla en liten aning vid sidan om den sanna rena skalan och med en harmonisk likställning av höjda och sänkte toner.

Samtliga heltonsteg blev sjätteroten ur två, eller 1, 22462048... och samtliga halvsteg tolfteroten ur två, eller 1,05946309...
Tonförrådet begränsades således till den geometriska sekvensen: tolfteroten ur två multiplicerad med sig själv en till tolv gånger.
Vi måtte postulera att något större blev vunnet på avsteget från absolut ren stämning och svaret torde sökas djupt i filosofin, jag tror djupare än i sökandet efter praktiska metoder att åstadkomma polyfoni.

Trettio år fyllda kände jag mig abrupt kallad att istället för träaktig akademisk avhandling skriva ett besynnerligt musikdramatiskt verk om livets trivialiteter och strävan efter mening. Beslutet blev fattat en höstnatt på hemväg från krogen, dit jag sökt min tillflykt att dränka sorgen efter en definitivt avrest förlorad kärlek.
Och jag såg ljuset.

Väldiga förhängen delade sig uppe i den disiga grå himlen över Norrlandsbanan genom Gävle och en Hamlet-artad figur uppenbarade sig med en basaria, "Ack dessa simpla nöjen".
Piano och nödvändig facklitteratur inhandlades nästa dag. Pianot till ekonomipris och litteraturen befanns innehålla både vin och vatten och i synnerhet harmoniläran syntes mig besvärligt osystematisk.

Tredjedelen hunnen av det besynnerliga verket, som jag tre gånger fått börja om på grund av hela tiden från nollnivå tilltagande hantverkskonst; i ett lugnt skede under jour på stadens röntgenavdelning, den 3 februari 1977, kl 19.03, då jag befann mig i mitt ämbetsrum - utanför fönstret skymtade en av min skrivbordslampa belyst snöig slänt upp mot barnsjukhuset – jag stod mitt i rummet och tittade upp i taket: just där och då såg jag plötsligt den vältempererade harmonins väsen.

Det handlade om enkla tal inom ett tetraackord.
Jag hade i mina studier funnit senromantikens alternativa grundtoner och dominanter och nu inställde sig allt i ett enda slag, som när ett halvlöst korsord plötsligt bjuder sig.

Tiotalet år senare hittade jag en liknande vision nedpräntad i Sibelius sjunde och sista symfoni - lämnat av den gamle till ett krypterat testamente angående sitt livsverk.
Alla viktiga ingredienser finns ytterst iögonfallande medtagna: först de tre orden som fattades Väinömöinen att sjunga ihop ett skepp åt sig, tre kromatiska tonsteg i violinerna, tre halvsteg markerande de tre lillatersfamiljerna, sedan basunens diatoniska huvudtema, fjärde gången som en reminiscens hos hornen beledsagat av en stor septimas upplösning i en sext, omedelbart följt av codans magiska klarinettstämma utmed stora-tersserier och stora-sekundserier, vilken landar på toninaks lilla ters, alldeles innan symfonin till sist vältrar en tung port upp på glänt mot en annan värld!

Det finns bara fem intervall (!), liten sekund, stor sekund, liten ters, stor ters och kvart.
Alla andra är speglingar av dessa fem i oktaven och tritonus mitt i tonraden bara två staplade små terser med tomt mellansteg.

Alla fem grundintervall kan staplas i geometriska serier och de fyra första, men inte den femte och sista, inkluderar därvid närmsta oktav; c', ciss', d', diss'.... c''...; c', d', e', fiss' ... c''...; c', diss', fiss', a', c''...; c, e, giss', c''...; medan c', f', b', ess'', ass'', dess'''... osv ... är kvintcirkeln baklänges
och hinner runt hela cykeln av tolv toner innan ett avlägset oktavintervall uppstår en hel klaviatur bort (sjätteoktaven).

Det finns en enda familj små sekunder, två familjer stora sekunder, utgångna från c respektive ciss, tre familjer små terser, utgångna från c, ciss och d, fyra familjer stora terser, utgångna från c, ciss, d och diss, medan kvarterna är tolv. Därför anger kvartsprånget förflyttning mycket starkare än något annat intervall.

Fullständigt naturligt och intuitivt, men utan att skäl angivits, då, denna februarikväll, fick jag insyn i att den lilla tersen skulle vara alltings hjärta. Mindre intervall är alltför dissonanta och större alltför sonort inaktiva, eller tvärtemot osmidigt dissonanta om skrivna inom ett klingande kvartintervall.
Alla upptänkliga harmonier blir kombinationer av ovannämnda tonfamiljer med fyllda eller outfyllda platser och de traditionella grundtonerna utklingande eller dolda. Durtreklangen har en fot i en familj samt två i närmast ovanliggande (c - e - g) och molltreklangen två i första familjen, men endast en i närmast ovanliggande (c - ess - g).

De tre familjerna små terser är också mångfaldigt dubblerade förminskade dominantnonackord med utelämnade grundtoner, icke förekommande i renässansens treklangsmusik, men vanliga i senromantiken med dess tillkärvade och ur de rena klangerna förskjutna kromatiska klang omfattande alternerande dominanter och tonikor på tritonus avstånd inom sin egen familj, ciss - e - g, ciss alternativ dominant till c och c - ess - fiss, fiss alternativ tonika till c. Alla toner i samma geometriska serie får uppfattas nära besläktade.

Det traditionella harmoniska förloppet innebär förflyttning inom och mellan lilla-tersserier. Den fulla kadensens hemgång berör alla tre. Wagners ledtonspänning får därmed underordnad betydelse, liksom Schönbergs seriella teknik endast innebär begränsande regler hur de tolv medlemmarna i den unika lilla-sekundserien får följa på varandra, medan Debussys heltonskalor blir ett annat särfall av hela den harmoniska visionen inom det lilla tetraackordet!

Det fanns i visionen ett starkt imperativ - den lilla tersen är harmonins hjärta. Sibelius slutade visserligen sin fjärde symfoni med viskningarna "liten ters, liten, ters, liten ters ... liten ters, liten ters, liten ters ...", men drog sig icke för att använda stora tersserier till centrala harmoniska konstruktioner i Tapiola efter sin sjunde symfoni.
Stora terser kryssar där mot varandra i halvsteg på halsbrytande vis och bidrager till oerhörd intensitet med alla skärande biprodukter om stora septiman och små sekunder. För att absorbera det värsta har en kärv bakgrund fått läggas med mindre dissonanser. Stycket avslutas visserligen med ett rent H-durackord, men Sibelius skrev intet mera efter Tapiola. Vi kan blott föreställa oss vad gigantiska intellektuella planer kunde ha ruvats på för vidare resa i den aldrig uppenbarade åttonde symfonin utefter liknande, av den lilla tersen otyglade demoniska linjer!

Mitt besynnerliga verk som utlöst visionen blev färdigt annandag pingst den 15 maj 1978 och samtidigt ringde min dörrklocka på Dimgatan i Gävle.
Utanför stod samma kvinna vars avresa ett och ett halvt år tidigare utlöst infallet att viga all fritid till nämnda galna skrivande. Detta var en mäktig synkronicitet av det slag Jung beskrivit 1951 och blev avgörande för mina framtida studier

Det gick många år, jag blev familjeförsörjare, prövade på oljemåleri och fördjupade mig i vetenskaperna och filosofin om de stora och transcendentala frågorna naturligtvis, vad annars.

I sextioårsåldern kom jag så en sommarkväll uppför Berget från mitt älskade badställe genom en samling gamla sommarhus kallad Hjorthagen där jag blev anfallen av två kungspudlar från en, till synes tom, tomt till vänster om stigen.
I uppståndelsen blev jag bjuden in till ett litet sällskap bestående av en stråkkvartett, en värdinna och de två kungspudlarna och man bjöd generöst på både lax och vin. Det var repetitionspaus.

Kvartettens förstafiol en känd rödhårig badnymf, andrafiol en pensionerad neurokirurg och cello stugans ägare från den södra universitetsstaden, medan violan uppenbarligen kom från Australien.

Jag uppdrogs efteråt att lyssna på kvartettens tolkning av något alldeles nyskrivet.
När musikerna omsider svurit sig igenom alla obligatoriska intensiva dissonanser verket bestått utav, tog gamle andrafiolen upp en läderportfölj och delade ut gamla tummade häften, Beethoven, Schubert, Mozart... Den 19 minuter långa tacksägelsesatsen i lydisk ton från den sena a-mollkvartetten klingade ut i stugan.

Efter ytterligare, mycket underbart, bar det vid ettiden åstad tillbaka genom sommarnatten mot havet och mareldsbad.
Sådant innebär uppflammande blå stjärnor i vattnet omkring och nedan mot det svalkande djupet och likaledes blå stjärntöcken högt ovan på himlapällen, med svanen i den nyligen sent i juli återkomna vintergatans eterdis tvärs över alltihop från öster mot väster.
Vanligen kan man vid dylika tillfällen också räkna med någon mindre brännmanetskontakt, men denna gång inte så. Istället frågade mig cellisten om inte även jag skulle skriva en kvartett.
Nej, absolut inte, svarade jag.

Men nästa dag satte jag igång. Nu har det blivit till lika många som Wilhelm Stenhammars, sex stycken. Till skillnad mot min berömde kollegas, har mina dock bara blivit genomspelade och endast de fyra första av Hjorthagenkvartetten.
Därefter tog den eldhåriga badnymfen det ofattbara steget ut genom denna världens port och den femte intresserade inte längre, åtminstone inte ovannämnde cellist, som tillfrågats. Den sjätte kom under senaste juluppehållet och i G-dur, Den Stora Konstdebatten kallad.

Att så många år efter min harmonivision åter skriva kontrapunkt har blivit en intuitiv process.
Harmonierna bjuder sig enkelt som bergsvandrare i replag på väg upp- eller nedför ett stup, havet nedan är dominanten och speglar himlen en oktav ovanför och ovanför himlen finns det ännu många himlar.

Drygt halvvägs upp bildar ett replagspar tonikans treklang med himlen, och något nedom dominantens med havet. Om vi tänker oss väldiga titaniska kliv så att det sjunde når från himlen till havet och tvärt om, så står vandrarna på andra respektive fjärde i det senare fallet (Mi, Sol) och tredje respektive femte i det förra (Fa, La), förutsatt vi betraktar den lydiska tonen som tonika i Fa.

Efter första klivet följer en harmonins minsta molekyl, om vandrarna står på Re och Fa ovan havsytans Do eller motsvarande på Sol och Si sänkt till b under himlens Do.
Denna är ytterst användbar och de gamla grekernas tetraackord, helsteg, halvsteg, helsteg, med spännvidden ren kvart.
Man kan låta replag med olika antal medlemmar stiga uppför eller repellera utför berget och på motsvarande sätt finna exempelvis att hela treklanger förvandlas genom att närma sig eller avlägsna sig från andra vandrare man relaterar till som för tillfället är i vila på någon klipphylla.

Detta kan låta vagt och konturlöst, men just så blir det möjligt för det skapande sinnet att finna sina vägar i tillfälligheternas domäner.
Det rationella får läggas åt sidan.
Konstnären behöver en rationell utgångspunkt, men fastmera förmågan att ställa sig bredvid sig själv, att kliva ur sitt vardagliga jag för att istället anamma den större eller djupare världen på andra sidan rationaliteten; den drömmandets port dit shamaner sedan tidernas begynnelse farit åstad under sina anderesor - den värld som talar genom tillfälligheter och det oberäkneliga - varifrån gives det jag kallar för - den 'konstnärligt lyckade linjen' i ett verk, som överraskar konstnären själv.

Gränssnittet mellan ande och materia torde utgöras av överallt rådande osäkerhet och instabilitet.
Intet med tillfälligheters alternativ behöver därvid styras genom nötning av fysisk energi. Det verkliga djupare jaget, Das Selbst, hör hemma i en värld bortom materiens. Det är magiskt, som framgår av vad jag skrev i Rooke Time No. 67, 2010 (Balderupsfilosofin 1973-2010) - och svaret på årtusendens ändlösa filosofiska spekulationer - det är så enkelt!
Vilja är magi. Har man varande utöver existens har man troligtvis också vilja. Ingen konst är möjlig utan denna insikt.

I musikskrivandet förefaller melodin gregorianskt exakt, medan harmonin verkar tillkomma genom magiskt färgade tillfälligheter ur det gamla grekiska tetraackordets interaktioner med vår vältempererade skala.
Men ej heller melodin har något enkelt rationellt ursprung. Den uppträder på en starkt psykologiskt arketypiskt färgad arena som enkla talsamband - ju enklare desto starkare och bättre och mer utvecklingsbara. Melodiskrivning är en minimalistisk konst och resultatet minst lika oväntat till ursprunget som dess beledsagande harmonier och sidostämmor.
Det djupaste i varje konstverk överraskar den 'skapande' konstnären själv. På så vis slutar min sjätte stråkkvartett i gregorianskt ljus efter en färd genom underjordiska förtätade harmonier.

Psykologiska helheter uppträder i fyra aspekter, i mandala-liknande quaternion.
Även räknesätten är fyra och universella formler att lösa högregradsekvationer förekommer endast upp till fjärde graden. Jung sysslade hela sitt verksamma liv med fyrfaldigheter och tillfogade att även multipler av fyra gällde för helhetsrepresentation.
Vidare anmärkte han att i naturen, alltså i drömmarnas natur, sekvenserna tre och sju alltid var enhetliga, medan det fjärde respektive åttonde steget innebar något oväntat.

Vår universella tonskala har sju steg och det åttonde är en upprepning av det första på ett nytt plan.
Bland alla sagors och myters universella mönster citerade i jungianska verk kan inhämtas, att dvärgarna var sju och Snövit den åttonde, att i sju av världens åtta hörn satt mediterande arahater, medan en ung tjänsteflicka sopade den åttonde ren, osv.

Tonskalan har hela steg utom till den fjärde och åttonde tonen, vilka föregås av halva steg. Kyrkotonarterna var åtta fördelade i fyra par, alla med ganska olika karaktärer. De användes fortfarande, till och med i modern jazz.

För hundra år sedan spekulerade Alfred North Whitehead och Bertrand Russell om alternativa logiska system baserade på högre tal en två, på tre eller kanske till och med fyra.
Sådana enkla tal är starkt arketypa med oanad psykologisk betydelse såsom Marie Louise von Franz visat i arbetet Number and Time.

Frågan är dock om de båda illustra brittiska matematikernas förhoppningar någonsin kan slå in, och om inte det rationella ändå måste förbli vid tertium non datur.
Däremot bygger harmonins intuitivare tänkesätt på de tre ord Väinömöinen fattades, på de tre lilla-tersserierna dolda i det gammelgrekiska tetraackordet.
Att de alla klingar en liten aning falskt väger mycket lite mot vinsten att kunna tänka i termer högre än den världsliga rationella dualismens två.

Toomas Mathiesen
toomasm@hotmail.com